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全国教育科学“十五”规划重点课题《数学教学效率论(EHA030431)》
子课题《用心理学理论提高数学教学效率的研究》
研究简报三
2004年10月12日，子课题小组负责人、主研员王学沛老师应新都一中邀请，在新都一中演讲厅向新都一中、新都二中、新都四中的近百名数学老师作了《“数学教学效率论”课题、课题组与课题研究方法》的专题报告，受到了与会教师和新都一中领导的高度赞扬。以下是讲稿全文。
“数学教学效率论”课题、课题组与课题研究方法
——向新都区部分中学数学教师的汇报稿
南充三中王学沛
尊敬的各位领导：
尊敬的各位老师：
首先，我衷心的感谢新都一中的领导给我提供了一个向领导和老师们汇报我们课题组的数学教育科研工作，向老师们求教学习的好机会。敬请领导和老师们批评指教。
是王光明教授主持领导的全国教育科学十五规划重点课题《数学教学效率论》的研究工作，把我们成都七中，新都一中，南充高中，南充三中，西华师大数学与信息学院紧密地联系起来。随着研究工作的逐步展开，我们几个学校的老师们的愉快合作的研究伙伴关系日益亲密起来。我的心早已飞向了新都一中。想与老师们倾心交谈，合作研究是我的强烈愿望。也是我们课题组参研教师们的共同心愿。
一、新都一中数学组是我们子课题组的主力军。
2002年10月底，在省数学会的年会上，我与肖宏、刘汉斌等老师有了一面之交。回到南充后，我仔细阅读了新都一中数学组编的教师论文集和高2004级学生数学论文集。这两本论文集使我看到了新都一中数学组的群体数学教育科研能力和教学中的创新能力之强，全川少见。高一学生能写出这样好的数学小论文，也使我大开眼界。学校领导对教育科研工作高度重视，制定了一系列具体措施落实教研工作，在全校营造了一个十分良好的科研氛围，是十分难找的科研型领导。这正是我要寻找的理想的数学教育科研伙伴。川师大翁凯庆教授也告诉我，“陈健老师的科研能力很强”。我很高兴，我找到的不是一个两个研究伙伴，而是一个研究者群。
2003年12月22日，当王光明老师申报的课题《数学教学效率论》被全国规划办正式列为全国教育科学十五规划重点课题，邀我参加研究并筹建子课题组时，我立即就想到了您们。我在给王光明老师的筹建工作汇报信中写到：“新都一中数学组的群体科研能力和教学创新能力很强，他们已经做了的数学教育科研工作是与《数学教学效率论》追求的目标很贴近的，它们还有一个十分重视科研的学校领导班子，在学校营造了一个良好的科研氛围和优化的育人环境。我认为，新都一中是我们子课题组的主力军。我也坚信，在具体的研究工作实践进程中，他们会用他们高水平的丰硕的数学教育科研成果构建起我们子课题组的研究中心。”
7月5日我们在南充高中嘉陵校区成功地召开了子课题组开题会和研讨会，王光明老师在看了会议手册上的提交论文后说：“肖宏的论文写得好。”“同意在新都一中召开全国研讨会，由他们承办。”这就表明，新都一中用您们已有的科研成果使王光明老师看到了您们的高水平科研能力。争取到了全国研讨会的承办权。承办全国研讨会既是学习这一研究领域前沿成果的大好机会，也是一个充分展现您们的科研成果的大好机会，更是一个促进跨地区进行合作研究的大好机会，寻找志同道合的研究伙伴的大好机会，它会大力促进我们的数学教育科研，提高水平，快出成果。我们要充分认识这种机会的价值，要不辞辛劳，不误时机地紧紧地把握好这一千载难逢的大好机会。
二、总课题《数学教学效率论》与王光明教授简介
在我国，从有数学之日起，就有数学教育，但是没有对数学教育进行系统地理论研究，没有数学教育学。对数学教育进行系统地理论研究，是从二十多年前才开始起步的。1982年中国数学会才正式提出创建数学教育学的奋斗目标。1987年，曹才翰才在《论数学教育及其研究》一文中提出了数学教育学的一个框架和为创建数学教育学而需要研究的20个重大课题。他提出：“数学教育学是由课程论、教学论、学习论为三角形的三个顶点，在三角形内外分布着数学学习心理学、数学哲学、数学教学评价、数学方法论……等二十多门学科的学科群构成。是以三论为主要对象的一门实践性很强的综合性理论学科。”而《数学教学效率论》正是数学教学论与数学学习论的组成部分。
1992年底，以徐利治和王梓昆为首牵头，联合40余所大学，荟萃各方英才，以创建具有中国特色的数学教育学和促进我国数学教育进行国际交流为宗旨，由庹克平和曹才翰为常务副主编，张国杰为编辑部主任，创办了我国有史以来第一份专门研究数学教育科学的学术性刊物《数学教育学报》，及时刊载数学教育科研的前沿成果和新理论，及时反映创建数学教育学的重大活动和前沿进程。它是当前我国数学教育领域层次最高，代表我国数学教育科研最高水平的学术刊物。全国中文核心期刊，中国科技核心期刊。它是中国数学教育改革主流的机关报，它领导了当前数学教育改革的大潮流。而王光明教授正是《数学教育学报》编辑部的第二任主任。他早就投身于创建数学教育学的前沿，作了许多脚踏实地的开拓性工作。
他有多年高师院校数学系的“数学学科教学论”和《中学数学教材教法》等课程的教学经验，有奉献精神，立志要一生矢志不谕为数学教育事业做贡献，有老一辈数学教育家们的关怀与扶植，使他在数学教育学创建工作中有许多前沿成果。1998年，时任《数学教育学报》副主编的张国杰教授建议王光明等人就我国数学课程、数学学习、数学教学、数学教育评价等有关理论研究成果及其现代发展进行总结。2001年5月王光明、曾峥出版了《数学教与学基本理论及其发展》和《数学课程与评价基本理论及其发展》两本书。为创建数学教育学的三论奠基的这两本书，正是总课题《数学教学效率论》的扎实研究基础。而《数学教学效率论》课题是对三论的深入研究。
从上述介绍情况可以看出：1、国家科研课题的申报是以相关科研前沿成果为前提条件的；王光明教授是用他的脚踏实地地进行科研取得的前沿的高水平成果去申报到国家重点课题的。
2、我国创建数学教育学的工作才起步，有许多课题需要我们去研究、探索、解决。这既是对我们的挑战，又是给我们参研教师提供了十分广阔的创新空间和众多的创新机遇。
3、数学教育学是由二十几门学科组成的学科群，它的创建是一个宏大的系统工程，需要我们广大的数学教师投身到创建的科研队伍中来。
4、参加课题研究，就把我们的教学工作提升到创建数学教育的层面上去了，我们的教学就不仅仅只是为所教班的学生服务，而是为全国乃至全球的师生服务。这就极大地提升了参研教师的人生价值，这是我们教师的最大快乐。
5、数学教育学是一门实践性很强的理论学科，我们一线教师参研具有实践方面的优势，课堂就是教改实验的实验室，我们的创造性设想或假说有很方便的实验场地和机会；课堂教学是我们创新理论的源泉，利于我们从数学教育经验中提炼出理论。我们应充分发挥这个优势。
6、《数学教育学报》为我们搭建了攀登数学教育科研高峰的天梯，但是只有通过认真学习《学报》，充实了自己的数学创新教育的文化底蕴的人，才能跃上这个天梯去攀登。
三、子课题研究计划——两个层面、三个阶段
总课题研究目的有两个，一个是努力构建具有我国特色和数学教育特征的高成效数学教与学的基本理论。并在总计划中提出：2005年1－5月，汇总各子课题研究成果，拟出版《论数学教学效率》。要在几个月中拿出高水平的创新论文来，一是早已进入数学教育研究领域，并具有较强科研能力的老师能够胜任。二是我们新都一中，成都七中和南充高中都是全国示范高中，它们中的许多教师的数学教学是高成效的，有的已上升到理论，有的还停留在经验性层面上。对于已上升到理论的，把它转换一个研究视角，从数学教学论和数学学习论的角度，从数学学习心理学的角度进行研究，从提高数学教学效率的特点、行为、手段、过程、效果、归因、评价等等角度，进行研究，就能尽快成文并提交总课题组。对于还停留在经验性层面的高成效的数学教学，可用数学教育新理论去提炼数学教育经验，升华到理论上去。
总课题研究的第二个目的是：通过课题研究，既要提高数学教学质量，获得理论认识，又要造就一支有较高业务水平的年轻数学教师队伍。
根据总课题研究的第二个目的和我们四川数学教育研究普及工作比东部沿海比外国落后几十年的现状，我们子课题组想开展教育改革实验，就也接纳了一些从未学习过近二十多年来国内外数学教育改革新思想和新理论，从未搞过教育科研的教师。要求他们立即进行理论建构层面上的工作是不现实的。我们把他们的参研从时间上分成三个阶段：1、理论学习阶段；2、零星试验、局部分析阶段；3、系统总结、规模试验阶段。
对于从未搞过教育科研的教师，他们当前迫切的需要的是进行数学教育改革新理论的学习，通过学习达到教育理念的转变，教育创新观念的树立和能力结构的发展，（即三项更新）；达到善于进行数学学习心理活动分析，善于把“学术形态”的数学知识转换为“教育形态”，善于全面开发和提升人的大脑思维功能，善于指导学生进行数学创造学习（即四个善于）。进而提高数学教学效率。这对教师是高要求，只有踏实认真学习并与自己对教学过程进行反思相结合，才能达到。我们把理论学习阶段计划为一年，即今年7月到明年8月。明年8月到12月，为教师零星试验、局部分析阶段。从2006年春进入规模实验阶段。
因此，我们子课题计划就可概括为：两个层面，三个阶段。
┌1、理论层面：构建提高数学教育学的效率的基本理论。
│
子课题计划 │ ┌①理论学习阶段
│ │
└2、实践层面:开展教育改革实验│②零星试验，局部分析阶段
│
└③系统总结，规模试验阶段
而我们新都一中数学组的多数教师和以成都七中何明老师为首的成都其它几个中学以及南充高中部分的参研老师们，是具有较强科研能力和丰富的高成效率数学教学经验的，他们当前立即要进行的是理论层面的工作。他们中许多教师已经在进行着这项工作了。由于全国数学教育研讨会将于今年11月底在新都召开，他们还必须在今年十月就向研讨会提交论文。这是件好事，老师们可以在研讨会上交流自己的见解，获得些修改意见，或寻找到研究伙伴，合作研究，会后再修改补充，力争明年1－5月能向总课题组提交高水平论文。
四、教育科研与教研的一个不同点
我们的课题研究是教育科学研究。
教育科学研究（简称教育科研）与教学研究（简称教研）有相同点，也有不同点。今天只说一个不同点。
教育科研是以教育科学理论为武器，以教育现象为对象，有目的、有计划、系统地采用科学的态度与方法研究教育现象，提炼教育经验，发现教育规律的一种创造性实践活动。它是一种较高层次的研究活动，其成果直接为教育实践和教育未来服务。而教研是在一定的教育科学理论的指导下，应用某些经验、理论和规律，对教育内部各个学科具体教学现象进行微观的研究而建立操作体系，为当前的教学实践服务，它是普及性和应用性的教育研究活动。
两者的研究性质不同。教育科研的本质特征是创新。教育科研的成果必须具有规律性与创造性。规律性是指科研必须是从个别的、偶然的、表面的现象中获得的、反映事物本质和规律的知识，是反映事物的共性的，具有普遍意义的，能够在一定的范围内应用的知识。创造性是指，科研不能走别人走过的路，重复别人已经做过的研究，它是一种创造性的活动。即使是去研究别人已研究过的东西，但必须明确反映出你个人的独到的真知灼见来。所以，《数学教育学报》付主编张国杰教授在致投稿者的文章中说：“创新性是《学报》办刊宗旨，没有创新内容的文章不要投来，《学报》只登第一发言人的文章。所以，作者必须了解研究所涉及领域的全局，弄清哪些是别人已研究出来的东西；哪些是尚未研究出来的；哪些虽是别人已研究出来，但自己对之有不同见解；才能避免研究工作的重复劳动，避免撞车。”
而教研则不同，它不一定要有普遍意义和创造性、开拓性。教研主要是对某些教育规律的应用。简单地说，教育科研主要是发现规律，教研侧重于规律的应用。所以，在向全国数学教育研讨会提交的论文中，必须要写出你个人的真知灼见，你个人的创新内容。
五、数学教育科研人员必须占有充分的资料
数学教育科研属于社会科学研究范畴。教育科学的理论研究是在已有的客观现实材料及思想理论材料的基础上，运用各种逻辑的和非逻辑的方式进行加工整理，以理论思维水平的知识形式反映教育客观规律的一种研究。它的过程是一种理性思辨的过程，研究的事实与成果是同占据什么资料联系在一起的。因此，教育科研人员必须占有充分的资料，文献检索是搞教育科研不可缺少的重要工作。
忽视甚至厌恶搜集资料的劳苦就不能胜任教育科学研究工作。钱三强把图书情报比喻为科学研究的一只翅膀，没有它，科研就不能腾飞。美国凯斯工学院研究基金会调查统计了社会科学和理工科研究人员各项研究活动的时间比例：社会科学研究用于情报搜索与信息加工工作时间占总研究时间的50.9％，而理工研究占30.2％。社会科学研究用于科学实验的时间为32.1％，而理工科研究为52.8％。这就是说，我们搞数学教育科研课题，要舍得把时间花在相关文献的检索工作上。我们在《数学教学效率论》理论层面研究的老师必须搜集并加工近二十多年来国内外数学教与学的基本理论和信息资料。而创刊以来的全部《数学教育学报》则应是搞数学教育科研课题的老师们的必须占有的宝贵资料之一。
六、数学教学经验的提炼
成功教师的数学教学经验是构建高效率数学教与学的基本理论的重要资源。从自己成功的数学教学经验中提炼高效率的数学教学理论，是课题研究的一项重要任务。不少优秀教师说：“我们的数学教学是高效率的，在教学实践中我们也很清楚地知道该怎样做，但若问为什要这样做？其背后有什么理念？导致高效率的数学教学的决定因素是什么和为什么？就总是说不出来或说不清楚。”把自己的数学教学经验表达不清楚，提炼不出来，这是很多优秀教师长期的苦恼。为什么教师自己的教学经验会处于“会做不会说”“只可意会，难以（或不能）表达”的状态？怎样才能得心应手地从自己的数学教学经验中提炼出数学教学理论并清晰地表达出来？
1、数学教学经验的提炼与表达需要跨学科的知识。
数学教学经验已不是纯粹的数学知识，而是数学与心理学、哲学、逻辑学、脑科学、教育学、文学等多学科整合的知识。因此，对数学教学经验的提炼就需要用跨学科的知识。例如，我在教学单位圆时，强调了角的终边与单位圆交点的坐标是（cosα,sinα）而在以后的学习中学生们就总习惯性的把角的终边上任意一点坐标都写成（cosα,sinα）。学生们为什么产生这样的错觉呢？这显然用纯粹数学知识无法表达学生产生错觉的心理过程和原因。而要用数学以外的心理学知识来表达。我运用心理学的迁移理论和思维定势理论，写出了单位圆的正负迁移作用。”单位圆是数学知识，正负迁移作用是心理学知识。这就明晰地表达并提炼了这一数学教学经验。
一些数学老师数学知识丰富,但心理学等相关学科知识缺乏，因此，对涉及需要跨学科知识的数学教育经验，就感到缺乏或找不到能够恰当表达的理论和语言。
2、数学教学经验概念化是从数学教学经验中提炼数学教育理论的一种基本方式。
2.1.数学教学经验的概念化。
数学教学经验是由一些纷繁杂乱的数学教育现象、教育事实和教育行为构成的一个动态变化的复杂的融合体。当我们敏感到一些有研究意义的教育现象和问题时，我们就可以去努力寻找一个或几个相应的核心概念来标识和表达我们的教学经验。当一个或几个核心概念不足以完整地表达数学教学经验时，往往还需要运用一些子概念和相应的范畴来构筑概念系统或概念框架，因为“单个概念只有在与其相关的概念框架体系内才能获得其准确的意义。”构筑概念框架实质上是建立起一个研究和解决问题的基本模型，作为帮助我们探究、分析和解决问题的思想支架，帮助我们看清实践中的问题，预示或找到解决实践问题的有效办法。运用这个合理的概念框架把教育实践中的问题放大，把问题的症结、要害或本质、原理、要领看得更加清楚和明白，澄清误解，消除曲解，加深对教育的认识和理解，探索正确的行动策略。正是在这种解释教学现象的过程中，我们不断地积累，澄清和表达着我们的教学经验，实现着教学经验向教育理论的升华。这种寻找核心概念、构筑概念框架（体系），并用它作为帮助我们探究、分析和解决数学教育问题的思想支架（基本模型）去看清问题的症结、本质和原理，并用它标识，表达和解释数学教育现象的全过程，称为数学教育经验的概念化。它既是使数学教育经验走向数学教育理论的一种表达方式，又是一种简约化的机制，它可以帮助我们从存在各种纷繁杂乱的事实和现象的数学教学经验中确定问题的范围和核心所在“缩小包围圈”，在思想和行为上从繁杂纷乱中寻觅简单，建立起秩序，从而找到事物内部的本质特征和必然规律。因此，它还是一种探求数学教育理论的思想方法。因此，数学教学经验概念化是从数学教学经验中提炼数学教育理论的一种基本形式。
数学教育核心概念及其概念框架，可以从已有的概念中移植，借用和改造，也可以创造性地提出。下面举一个借用和一个创造核心概念及其概念框架的精典例子来说明数学教学经验概念化。
2.2借用。近年来，美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来一种APOS理论，对数学概念的学习过程进行解释。杜宾斯基认为，学生学习数学概念要经历四个阶段：
操作（Action),过程（Process),对象(Object),概型(Scheme)取这四个阶段英文单词的第一个字母，定名为APOS，理论模型。
APOS理论集中于对特定的数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式。“过程和对象的双重性”做出了切实分析。它揭示了数学概念学习的本质。它是解释数学学习心理活动的核心概念和概念框架。
“熟能生巧”是我国传统的教学经验。它既是许多优生勤奋努力，在国际考试中名列前茅的经验，也是造成“大运动量训练”的“题海战”、“疲劳战”使许多师生负担不堪承受，效率低下，挫伤学生学习兴趣，抑制学生的创造性和积极性的根源。李士奇教授就借和APOS这个核心概念和概念框架作为分析学生数学概念学习的思维活动过程的思想支架，对“熟能生巧”这一传统的教学经验进行了再反思，对数学概念学习的心理活动作了形象的描述、独到的分析，提炼出了数学概念学与教的重要启示，形成了新的数学教育理论。李士奇在1996年发表论文“熟能生巧”吗？成为我国率先达到世界领先水平的数学教育科研成果，迅速地融入到国际数学教育研究的主流之中。这一科研成果，对提高数学教学效率具有的作用，将会日益突出地显示出来。
2.3创造。我国和国际上的数学教育学都还正在创建之中，没有充足的核心概念和概念框架供我们选择使用，所以，我们在提炼数学教学经验时，要创造核心概念和概念框架。
例如：在数学命题学习中，当学生学习了一个命题，特别是学习了一组命题后，往往不会灵活应用这些命题，产生这一现象的原因是什么？数学命题学习是怎样使教材上静态的知识活化的？如何构建良好的数学认知结构？如何反映数学学习优生与差生数学认知结构的差异？如何从数学命题学习的经验中提炼和表征数学命题学习特有的心理现象和规律？
征对上述问题和现象研究的需要，2002年喻平教授和单尊教授创造了数学学习心理的CPFS结构理论；概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构。以CPFS结构作为提炼数学命题学习经验的概念框架。对命题学习是怎样灵活起来的心理活动作了生动的描述，合理地解释了上述教育现象和现实。
我们子课题组在学习资料（一）和（二）中编印了李士奇和喻平的系列论文，正是为了给优秀数学教师提供数学教学经验的提炼的典例资料，以利于老师们学习和借鉴。这是我国数学教育研究最前沿的科研成果。如果我们能用APOS理论和CPFS结构理论对我们的教学经验进行提炼，或者自己创造出核心概念和概念框架来提炼数学教学经验，我们就走到了我国数学教育科研的最前沿，这也是我们课题研究所期望的。
3、隐性的数学教学经验显性化。
英国物理化学家、哲学家波兰尼在1959年提出：人类的知识有两种：“显性知识”和“隐性知识”。显性知识是指用“书面文字、图表和数学公式表述了的知识”，即是“显性”的，“明确”的，“言明的知识”。也称为“明确知识”。隐性知识，是指尚未被言语或者其他形式表述的知识。即是“尚未言明的”，“难以言传的”、尚处于“缄默”状态的知识。因此，隐性知识又被称为“缄默知识”或“默会知识”和“默然知识”。
1967年美国心理学家Reber提出人类学习的两种模式：外显学习和内隐学习。外显学习是，当环境刺激以某种结构出现时，人们会试图了解和掌握这种结构，并有意识地利用这种知识对环境刺激作出反应。这是一种需要通过意志、努力、策略使用完成学习的过程。内隐学习是，当人们在没有意识到（刺激呈现的强度低于意识觉知的界限或门坎－－意识阈）环境刺激潜在结构的情况下由于个体反复暴露于刺激环境，已经获得的刺激或环境信息印迹自动在意识阈下（无意识水平）经过与个体已有经验的复杂整合，形成了极具个人性的、抽象的隐性知识。或者是，相关经验在经历当时由于各种原因没有进入主体意识，（例如，心理学家赫尔巴特认为：任何时候占意识中心的观念只容许与它自己可以和谐的观念出现在意识阈之上，而将与它不和谐的观念抑制下去，降入到意识阈之下，呈无意识状态），但这种经验对主体以后的自我保护、环境适应意义重大，主体自动登录了它，予以编码，加工、储存在意识阈下，呈前意识状态或潜意识状态。日后遭遇类似的环境，便自动激活，跳跃到意识阈之上，影响主体的判断和行为。这是主体无意识习得环境中复杂知识的过程，是主体通过附带感知潜移默化地学习的过程。
隐性知识与显性知识是什么关系呢？波兰尼说：人类任何显性知识都植根于隐性知识之中，都依赖于隐性知识的存在，都必须有隐性知识的支撑。”“在许多情景中隐性知识是人类知识的内核和内容，而显性知识只是在内核上赋予了可以表述和转达的外型”。精神分析创始人S.Freud设想；人的心理活动好比浮在海面的冰山，意识阈就是水面，它是有意识与无意识的分界面。露出水面的部分是有意识心理部分，体积仅占整个冰山的一小部份，有意识心理之下是前意识部分，通常它处于意识的直接觉知之外。但如果主体（通过反思或类似情景设置）把注意焦点集中到这一部分，相应的知识经验可能被唤起到达意识层面。如同潮涨潮落，时而大块冰山凸现水面，时而又大部隐于水下。前意识再往下，是更庞大，更隐蔽的潜意识。
从上述我们可以看出，意象明晰，说得清楚的数学教学经验是显性知识。意象模糊，若隐若现，难以言明的数学教学经验是隐性知识。对属于隐性知识的数学教学经验的提炼，首先须要通过对教学过程的反思，努力回忆某种不明所以的直觉获得的过程，借助于背景信息的丰富性，激活记忆网络相近节点的相关信息，使模糊的直觉印象上升到意识层面；或借助于熟悉情景的记忆痕迹激活，使与事件相关的直觉印象易于上升到意识层面。隐性的数学教学经验显性化的实质，是通过对数学教学过程的反思，使处于意识阈下的教学经验活跃起来，跳跃到阈上，使无意识状态变为有意识状态，使隐性知识显性化然后再从中寻觅导致高效率数学教学的决定性因素。
4、数学教学经验的案例。
教师讲述自己数学教学教育的故事的过程，就是由教师本人“反思”和“叙述”自己在教学中所遭遇到的一系列教育事件。透过对教育事件的反思和叙述，教师澄清、积累、提炼自己的经验。
二〇〇四年十月十二日
本版照片摄影：龚小松
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